די פֿיבאָנאַטשי־רולעט־סטראַטעגיע
אין דער פֿיבאָנאַטשי־רולעט־סטראַטעגיע גייען די אייַנזאַצן 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… נאָך אַ פֿאַרלוסט גייט מען איין טריט פֿאָרויס, נאָך אַ געווינס צוויי צוריק.
זי באַזיגט נישט דאָס ראָד; קיין פּלאַן פֿון אייַנזאַצן טוט דאָס נישט. זי איז מילדער ווי מאַרטינגייל, דערפֿאַר איבערלעבט זי לענגערע סעריעס פֿאַרלוסטן איידער זי טרעפֿט דעם לימיט, און זי קומט צוריק צו זיך פּאַמעלעכער. דער דערוואַרטער פֿאַרלוסט איז די זעלבע 2.70% פֿונעם אומזאַץגעלטאומזאַץדי גאַנצע געשטעלטע סומע איבער אַ סעסיע אָדער אַ פּעריאָד, מיטגערעכנט ווידער געשטעלטע געווינסן. אויך: האַנדל, אַקציע.לייענט אין גאַנצן ←.
ווי אַזוי די סעריע ווערט געבויט
יעדער נומער איז די סומע פֿון די צוויי פֿאַר אים.
הייסט עס, נאָך 8 און 13 קומט 21.
צייכנט יעדן נומער ווי אַ קוואַדראַט, און די קוואַדראַטן פּאַסן זיך צונויף: יעדער נייַער איז אַזוי לאַנג ווי די צוויי פֿריִערדיקע געלייגט זייַט בייַ זייַט. אַ פֿערטל קרייַז איבער יעדן קוואַדראַט פֿאַרבינדט זיך אין אַ ספּיראַל.
גייט דורך די סעריע
אַ פֿאַרלוסט רוקט איין שריט צו רעכטס. אַ געווינס רוקט צוויי שריט צוריק.
אייַנזאַצן און רעזולטאַטן זענען אין אייַנהייטן פֿונעם באַזע־געוועט.
ווי אַזוי אַרבעט די פֿיבאָנאַטשי־רולעט־סיסטעם?
שרייַבט אויס די פֿיבאָנאַטשיסטראַטעגיעפֿיבאָנאַטשיאַ פּראָגרעסיע וואָס גייט נאָך דער סעריע 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: איין שריט פֿאָרויס נאָך אַ פֿאַרלוסט, צוויי שריט צוריק נאָך אַ געווינס.לייענט אין גאַנצן ←־צאָלן: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. יעדע איז די סומע פֿון די צוויי פֿאַר איר. הייבט אָן בייַ דער ערשטער און שטעלט אַזוי פֿיל אייַנהייטןגעלטאייַנהייטדער באַזע־אייַנזאַץ אין וועלכן אַ סיסטעם אָדער אַ שפּילער אַרבעט. פּראָגרעסיעס ווערן באַשריבן אין אייַנהייטן, כּדי זיי זאָלן פּאַסן בייַ יעדן טיש.לייענט אין גאַנצן ←. פֿאַרלירט איר, גייט איר איין טריט רעכטס. געווינט איר, גייט איר צוויי טריט לינקס, אָדער צוריק צום אָנהייב אויב ס'איז נישטאָ קיין אָרט. דאָס איז די גאַנצע סיסטעם. די טאַבעלע ווייַזט וויפֿל יעדער טריט קאָסט: אַ סעריע פֿאַרלוסטן וואָס דער טיש־לימיטטישטיש־לימיטדאָס מינימאַלע און מאַקסימאַלע דערלויבטע געוועט. דער מאַקסימום איז וואָס שטעלט אָפּ טאָפּל־פּראָגרעסיעס.לייענט אין גאַנצן ← אָדער אייַער שפּיל־קאַפּיטאַלגעלטשפּיל־קאַפּיטאַלדי גאַנצע סומע וואָס מע לייגט אַוועק פֿאַרן שפּילן. פֿאַרוואַלטונג פֿון שפּיל־קאַפּיטאַל הייסט באַשליסן וויפֿל דערפֿון צו ריזיקירן אויף אַ געוועט און אויף אַ סעסיע.לייענט אין גאַנצן ← שנייַדט איבער, פֿאַרלירט די סומע פֿון אַלץ וואָס מע האָט ביז אַהער געשטעלט.
ווי זעט אויס אַ סעסיע?
נעמט אַ באַזע פֿון $10 און אַכט דרייען: פֿ פֿ ג פֿ פֿ פֿ ג ג (פֿ = פֿאַרלוסט, ג = געווינס). די אייַנזאַצן גייען 10, 10, 20 (געווינס, צוויי צוריק, צו טריט 1), 10, 10, 20, 30 (געווינס, צוויי צוריק, צו טריט 2), 10 (געווינס, צוריק צום אָנהייב). פֿאַרלוירן: 10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60. געוווּנען: 20 + 30 + 10 = 60. פֿינף פֿאַרלוסטן, דרייַ געווינסן, און איר זענט גלייַך. דאָס איז דער רייץ פֿון דער סיסטעם. די קאָסט שטייט אויף דער זעלבער ליניע: מע האָט געדאַרפֿט $120 געוועטן כּדי צו קומען אַהער, און יעדער געשטעלטער דאָלאַר טראָגט דעם קאַזינאָ־פֿאָרטיילמאַטעמאַטיקקאַזינאָ־פֿאָרטיילדער חלק פֿון יעדן אייַנזאַץ וואָס דער קאַזינאָ האַלט אין דורכשניט: 2.70% בייַ אייראָפּעיִשער רולעט.לייענט אין גאַנצן ←.
פֿאַר וואָס צוויי טריט צוריק, און נישט איינס?
ווייַל איין געווינס באַצאָלט פּונקט פֿאַר צוויי פֿאַרלוסטן. יעדע צאָל איז די סומע פֿון די צוויי פֿאַר איר, דערפֿאַר גיט אַ געווינס בייַ 5 אייַנהייטן צוריק די 2 און די 3 וואָס מע האָט פּונקט פֿריִער פֿאַרלוירן. שטעלט זיך פֿאָר אַ טרעפּ: איין טריט אַרויף פֿאַר יעדן פֿאַרלוסט, צוויי טריט אַראָפּ פֿאַר יעדן געווינס. דער טריט אויף וועלכן איר שטייט איז אייַער חובֿ. בייַ טריט 5 זענט איר 7 אייַנהייטן אין מינוס, בייַ טריט 8 זענט איר 33 אין מינוס, און צוריק אויפֿן ערשטן טריט זענט איר פּונקט גלייַך. פּראָפֿיט קומט נאָר פֿון געווינסן אויפֿן ערשטן טריט, איין אייַנהייט אויף אַ מאָל.
מיט כּמעט אַזוי פֿיל געווינסן ווי פֿאַרלוסטן, הערט זיך צוויי טריט פֿאַר איינעם ווי אַ מציאה, און רוב צייַט פֿירט דער טרעפּ טאַקע צוריק אַראָפּ. דער כאַפּ איז אַז די טריט ווערן העכער וואָס העכער מע גייט. צען געווינסן אויפֿן ערשטן טריט ברענגען 10 אייַנהייטן. דרייַ פֿאַרלוסטן בייַ טריט 6, 7 און 8 קאָסטן 8 + 13 + 21 = 42.
- p10 −$500
- p25 −$500
- מעדיאַן −$500
- p75 +$250
- p90 +$920
צי אַרבעט די פֿיבאָנאַטשי־סיסטעם?
ניין. נישט ווי אַ וועג אַרויסצוקומען אין פּלוס. דער חשבון איז דער זעלבער ווי פֿאַר יעדער סיסטעם: יעדעס געוועט פֿאַרלירט אין דורכשניט 1/37 פֿון זייַן אייַנזאַץ, דערפֿאַר פֿאַרלירט די גאַנצע סעריע 1/37 פֿון אַלץ וואָס מע שטעלט. ניצן די פֿיבאָנאַטשי־סעריע בייַ רולעט בייַט דאָס נישט, ווייַל דאָס ראָד צאָלט די זעלבע שאַנסן וועלכע גרייס דער זשעטאָןגעלטזשעטאָןאַ סימן וואָס שטייט פֿאַר אַ פֿעסטער סומע, אַוועקגעשטעלט אויפֿן טיש־פּלאַן כּדי צו מאַכן אַ געוועט. אויך: טשעק.לייענט אין גאַנצן ← זאָל נישט זייַן. פֿיבאָנאַטשי־אייַנזאַצן קריכן אַרויף, דערפֿאַר שטעלט זי מער פּער דריי ווי גלייַכע געוועטןסטראַטעגיעגלייַכע געוועטןשטעלן די זעלבע סומע יעדן דריי. די באַזע מיט וועלכער מע פֿאַרגלייַכט יעדע פּראָגרעסיע.לייענט אין גאַנצן ←, און איר דערוואַרטער פֿאַרלוסטמאַטעמאַטיקדערוואַרטער פֿאַרלוסטדי דערוואַרטע ווערט מאָל די גאַנצע געשטעלטע סומע; דער דורכשניטלעכער פֿאַרלוסט איבער אַ סעסיע אָדער אַ פּעריאָד.לייענט אין גאַנצן ← פּער סעסיע איז העכער. מאַרטינגיילסטראַטעגיעמאַרטינגיילאַ פּראָגרעסיע וואָס טאָפּלט דאָס געוועט נאָך יעדן פֿאַרלוסט. זעט דעם סטראַטעגיע־אָפּטייל וואָס זי טוט און וואָס זי טוט נישט.לייענט אין גאַנצן ← שטעלט נאָך מער, און פֿאַרלירט מער.
צי איז זי זיכערער ווי מאַרטינגייל?
זי איז פּאַמעלעכער, און דאָס איז נישט דאָס זעלבע. פֿיבאָנאַטשי־אייַנזאַצן וואַקסן בערך 1.6× פּער טריט אַנשטאָט 2×, דערפֿאַר דערגרייכט מען אַ לימיט פֿון $500 נאָך בערך צען פֿאַרלוסטן נאָך אַנאַנד פֿון אַ באַזע פֿון $10, אַנשטאָט זעקס. דאָס מאַכט דעם פֿעלדז זעלטענער: צען גלייַך־געלט־פֿאַרלוסטן נאָך אַנאַנד איז (19/37)¹⁰ ≈ 0.13%, קעגן (19/37)⁶ ≈ 1.8% פֿאַר זעקס. אָבער דער פֿעלדז איז אויך העכער, ווייַל אויפֿן וועג אַהין האָט מען מער געשטעלט, און איין געווינס מאַכט אים נישט קאַפּוט.
פֿון וואַנען קומען די צאָלן?
פֿון אַ רעטעניש וועגן קיניגלעך. לעאָנאַרדאָ פֿון פּיזאַ, וועמען מע האָט שפּעטער אָנגערופֿן פֿיבאָנאַטשי, האָט עס געשטעלט אין זייַן Liber Abaci פֿון 1202: הייבט אָן מיט איין פּאָר, לאָזט יעדעס פּאָר ברענגען אַ נייַ פּאָר יעדן חודש פֿון זייַן צווייטן חודש אָן, און ציילט די פּאָרן. דער ענטפֿער גייט 1, 2, 3, 5, 8, 13. ער איז נישט געווען דער ערשטער וואָס האָט געפֿונען דעם כּלל. אינדישע געלערנטע פֿון ריטעם אין פּאָעזיע האָבן אים פֿריִער פֿאַרשריבן: סינגה (1985) פֿירט אים צוריק צו ווירהאַנקאַ, צווישן 600 און 800, און דערנאָך צו גאָפּאַלאַ און העמאַטשאַנדראַ.
קיינער פֿון זיי האָט נישט געטראַכט וועגן אַ ראָד. די מקורים וואָס מע ניצט דאָ זאָגן נישט ווער עס האָט צום ערשטן מאָל געשטעלט געלט לויט דער סעריע. וואָס זיי ווייַזן יאָ איז אַז איר אַריטמעטיק און די אַריטמעטיק פֿון רולעט טרעפֿן זיך קיין מאָל נישט: איינע זאָגט ווי די אייַנזאַצן וואַקסן, די אַנדערע זאָגט וואָס יעדער אייַנזאַץ גיט צוריק.
וויפֿל פֿאַרלירט מען נאָך אַ סעריע פֿאַרלוסטן?
צוויי אידענטיטעטן מאַכן גרינג צו קאָנטראָלירן די טאַבעלע אויבן. נאָך n פֿאַרלוסטן נאָך אַנאַנד איז דער גאַנצער פֿאַרלוסט די (n + 2)טע פֿיבאָנאַטשי־צאָל מינוס 1, וואָס גיט 1, 2, 4, 7, 12, 20 און אַזוי ווייַטער, און דער ווייַטערדיקער אייַנזאַץ איז די (n + 1)טע פֿיבאָנאַטשי־צאָל. באָלמאַן (2021) באַווייַזט דעם זעלבן רעזולטאַט דורך אינדוקציע פֿאַר אַ סעריע וואָס הייבט זיך אָן 1, 2, 3, וואָס רוקט יעדע צאָל אויף איין אָרט. בייַ אַ לימיט פֿון 500 אייַנהייטן פֿון אַן אָנהייב פֿון 1 אייַנהייט, קען מאַרטינגייל נישט שטעלן זייַן 10טע געוועט, 512 אייַנהייטן. פֿיבאָנאַטשי קען שטעלן איר 14טע, 377 אייַנהייטן, אָבער נישט איר 15טע, 610.
וואָס בייַט זיך אויף אַ טוץ אָדער אַ שפּאַלט?
אויף אַ טוץגעוועטטוץ1–12, 13–24 אָדער 25–36, צאָלט 2:1.לייענט אין גאַנצן ← אָדער אַ שפּאַלטגעוועטשפּאַלטצוועלף נומערן אין איין ווערטיקאַלן שפּאַלט פֿונעם טיש־פּלאַן, צאָלט 2:1.לייענט אין גאַנצן ←, וואָס צאָלן 2 צו 1, דאַרף מען נישט דעם טריט צוריק. אַ געווינס בייַ אייַנזאַץ F צאָלט 2F, וואָס איז שטענדיק מער ווי אַלץ וואָס מע האָט פֿריִער פֿאַרלוירן, דערפֿאַר ענדיקט יעדער געווינס די סעריע אין פּלוס. דער פּרייַז איז אַז אַ טוץ געווינט נאָר 12 מאָל פֿון 37, דערפֿאַר זענען לאַנגע סעריעס פֿאַרלוסטן אַ סך אָפֿטער: פֿערצן טוץ־פֿאַרלוסטן נאָך אַנאַנד געשען בערך איין מאָל אין 242 פּרוּוון, קעגן בערך איין מאָל אין 11,000 פֿאַר רויטגעוועטרויטאַ גלייַך־געלט־געוועט אויף די 18 רויטע נומערן. אויף פֿראַנצויזיש: רוזש.לייענט אין גאַנצן ←.
וואָס אויב מע הערט אויף נאָר נאָך צוויי געווינסן נאָך אַנאַנד?
אַן אַנדער וואַריאַנט גייט איין טריט פֿאָרויס נאָך יעדן דריי, געווינס אָדער פֿאַרלוסט, און הערט אויף נאָר נאָך צוויי געווינסן נאָך אַנאַנד. מיט n פֿאַרלוסטן פֿאַר די צוויי געווינסן איז דער פּראָפֿיט די (n + 1)טע פֿיבאָנאַטשי־צאָל פּלוס 1: קליין ווען די געווינסן קומען פֿרי, גרעסער ווען זיי קומען שפּעט, און געוווּנען אויף אייַנזאַצן וואָס זענען צוגעוואַקסן אין דער זעלבער מאָס. אַ פֿרי פּאָר געווינסן קומט שטענדיק בייַ קליינע אייַנזאַצן; אַ שפּעטס קען פֿאָדערן אַ גרויס געוועט פּונקט אין דעם מאָמענט ווען די סעסיע איז געגאַנגען צום ערגסטן.
סימולאַטאָר · פֿיבאָנאַטשי
2,000 סעסיעס פֿון גלייַך־געלט־געוועטן מיט אַ שפּיל־קאַפּיטאַל פֿון $1,000.
באַזע־געוועט $10 · טיש־לימיט $500 · 100 דרייען אין אַ סעסיע
ווי אָפֿט קומט אַ סעריע פֿון פֿאַרלוסטן
אַ גלייַך־געלט־געוועט אויף אַ ראָד מיט איין נול פֿאַרלירט 19 דרייען פֿון 37. יעדע ריי ווייַזט די שאַנס אַז אַ געוויסע צאָל דרייען נאָך אַנאַנד פֿאַרלירן אַלע, און וויפֿל אַ פֿיבאָנאַטשי־שפּילער, וואָס גייט איין שריט ווייַטער אין דער סעריע נאָך יעדן פֿאַרלוסט, האָט ביז דעמאָלט פֿאַרלוירן.
| פֿאַרלוסטן נאָך אַנאַנד | שאַנס | בערך 1 פֿון | פֿאַרלוירן ביז איצט | דאָס קומעדיקע געוועט |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26.4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13.5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7.0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3.6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1.8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0.94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0.48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0.25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0.13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $1,596 | $987 |
די שאַנס איז 19/37 געמערט מיט זיך אַליין איין מאָל פֿאַר יעדן פֿאַרלוסט, גערעכנט פֿון איין באַשטימטן דריי. אין אַ לאַנגער סעסיע זענען פֿאַראַן אַ סך דרייען וווּ אַזאַ סעריע קען זיך אָנהייבן, האָט זי דעריבער במשך פֿון אַן אָוונט אַ סך מער שאַנסן ווי איין ריי ווייַזט.
פֿראַגעס
יאָ: פֿאָרויס נאָך אַ געווינס, צוריק נאָך אַ פֿאַרלוסט. ער פֿירט זיך ווי אַ פּאַמעלעכערער פּאַראָליסטראַטעגיעפּאַראָליאַ פּאָזיטיווע פּראָגרעסיע: טאָפּלען נאָך אַ געווינס, צוריק צום אָנהייב נאָך אַ פֿאַרלוסט אָדער נאָך דרייַ געווינסן נאָך אַנאַנד. אויך: פֿאַרקערטער מאַרטינגייל.לייענט אין גאַנצן ←.
שפּאַס מיט מאַטעמאַטיק
פּרוּווט זיי פֿריִער אַליין. יעדע לייזונג איז צוגעדעקט; עפֿנט זי ווען איר זייט גרייט.
שפּילט דעם נוסח וואָס גייט איין טרעפּל ווייַטער אין דער סעריע נאָך יעדן דריי, צי מע געווינט צי מע פֿאַרלירט, און הערט אויף נאָך צוויי געווינסן נאָך אַנאַנד: אייַנזאַצן 1, 1, 2, 3, 5, 8 אאַז״וו. די ערשטע פֿערצן רעזולטאַטן זענען ג פֿ ג פֿ פֿ פֿ ג פֿ פֿ פֿ ג פֿ פֿ ג (ג = געווינס, פֿ = פֿאַרלוסט). וווּ האַלט איר, און וואָס איז דאָס ווייַטערדיקע געוועט?
ווייַזט די לייזונג
ענטפֿער מינוס 22 אייַנהייטןגעלטאייַנהייטדער באַזע־אייַנזאַץ אין וועלכן אַ סיסטעם אָדער אַ שפּילער אַרבעט. פּראָגרעסיעס ווערן באַשריבן אין אייַנהייטן, כּדי זיי זאָלן פּאַסן בייַ יעדן טיש.לייענט אין גאַנצן ←. דאָס ווייַטערדיקע געוועט איז 610 אייַנהייטן, און אַ געווינס וואָלט געענדיקט די סעסיע מיט 588 פּלוס.
די אייַנזאַצן זענען די ערשטע פֿערצן פֿיבאָנאַטשיסטראַטעגיעפֿיבאָנאַטשיאַ פּראָגרעסיע וואָס גייט נאָך דער סעריע 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: איין שריט פֿאָרויס נאָך אַ פֿאַרלוסט, צוויי שריט צוריק נאָך אַ געווינס.לייענט אין גאַנצן ←־צאָלן: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 און 377. לייגט צו די געווינסן און נעמט אַראָפּ די פֿאַרלוסטן: +1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22.
דער לעצטער רעזולטאַט איז געווען אַ געווינס, דעריבער ענדיקט נאָך איין געווינס די סעסיע. דער ווייַטערדיקער אייַנזאַץ איז 610: אַ געווינס לאָזט +588, אַ פֿאַרלוסט לאָזט −632 און אַ ווייַטערדיקן אייַנזאַץ פֿון 987.
דער נוסח ענדיקט שטענדיק אין פּלוס, אָבער דאָ דאַרף ער דערצו אַ געוועט פֿון 610 אייַנהייטן. לויט די געוויינלעכע כּללים, צוויי טרעפּלעך צוריק נאָך אַ געווינס, לאָזן די זעלבע פֿערצן רעזולטאַטן אייַך בלויז 1 אייַנהייט אין מינוס, מיט אַ ווייַטערדיקן געוועט פֿון 2. באָלמאַן (2021), וואָס הייבט אָן די סעריע מיט 1, 2, 3, באַקומט 1 אין מינוס און אַ ווייַטערדיק געוועט פֿון 3. די געוויינלעכע כּללים פֿאַרלירן דאָ ווייניקער, ווייַל יעדער געווינס ציט די אייַנזאַצן צוריק אַראָפּ.
דרייאייַנזאַץרעזולטאַטלויפֿנדיקער סך־הכּל11ג+121פֿ032ג+243פֿ−155פֿ−668פֿ−14713ג−1821פֿ−22934פֿ−561055פֿ−1111189ג−2212144פֿ−16613233פֿ−39914377ג−22פֿאַר וואָס לאָזן אין דעם זעלבן נוסח n פֿאַרלוסטן און דערנאָך צוויי געווינסן שטענדיק אַ ריווח פֿון דער (n + 1)טער פֿיבאָנאַטשי־צאָל פּלוס 1?
ווייַזט די לייזונג
ענטפֿער די n פֿאַרלוסטן לייגן זיך צונויף אויף דער (n + 2)טער פֿיבאָנאַטשי־צאָל מינוס 1, און די צוויי געווינסן זענען די ווייַטערדיקע צוויי צאָלן, וואָס צוזאַמען זענען גרעסער פֿון דעם מיט דער (n + 1)טער צאָל פּלוס 1.
שרייַבט F₁, F₂, F₃ … פֿאַר 1, 1, 2, 3, 5 … יעדע צאָל איז דער סכום פֿון די צוויי פֿאַר איר.
די פֿאַרלוסטן: F₁ + F₂ + … + Fₙ. לייגט צו 1 צו דעם סכום, געשריבן ווי F₂, און ער פֿאַלט צונויף: F₂ + F₁ = F₃, דערנאָך F₃ + F₂ = F₄, און אַזוי ווייַטער, ביז דער גאַנצער סכום איז Fₙ₊₂. דעריבער מאַכן די פֿאַרלוסטן אין גאַנצן Fₙ₊₂ − 1.
די געווינסן זענען די ווייַטערדיקע צוויי אייַנזאַצן, Fₙ₊₁ און Fₙ₊₂. ריווח: Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1. מיט פֿיר פֿאַרלוסטן איז דאָס F₅ + 1 = 6 אייַנהייטן.
אַ ביסל הומאָר
דער גאָלדענער שניט טרעפֿט זיך מיטן שילד פֿונעם מאַקסימאַלן געוועט.
מקורים
- RouletteDoc. באַשרייַבונג פֿון דער סטראַטעגיע און בייַשפּילן.
- Roulette77. באַשרייַבונג פֿון דער סטראַטעגיע און בייַשפּילן.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.