צוגאָבן · לערנען · 7 מינוט

רולעט און מאַטעמאַטיק־לערנען

אַ רולעט־ראָד מאַכט די וואַרשייַנלעכקייט גרינג צו זען פֿאַר די אויגן. אָט ווי אַזוי מע ניצט עס אין אַ לעקציע, אָן צו מוטיקן צום אַזאַרטשפּיל.

קורצער ענטפֿער

זיבן און דרייַסיק גלייַך־וואַרשייַנלעכע רעזולטאַטן, פֿעסטע אויסצאָלונגען, אומאָפּהענגיקייט, אַ באַקאַנטע נעגאַטיווע דערוואַרטונג און אַ לאַנגע מענטשלעכע געשיכטע פֿון טעותים. רולעט אילוסטרירט די דערוואַרטונג, די וואַריאַנץמאַטעמאַטיקוואַריאַנץאַ מאָס ווי ברייט די רעזולטאַטן צעשפּרייטן זיך אַרום דער דערוואַרטער ווערט. הויך פֿאַר אַ געוועט אויף איין נומער, נידעריק פֿאַר גלייַך־געלט־געוועטן.לייענט אין גאַנצן ←, דאָס געזעץ פֿון גרויסע צאָלןמאַטעמאַטיקגעזעץ פֿון גרויסע צאָלןדער דורכשניט פֿון אומאָפּהענגיקע רעזולטאַטן דערנענטערט זיך צו דער דערוואַרטער ווערט ווען די צאָל פּרוּוון וואַקסט.לייענט אין גאַנצן ←, דעם שפּילער־טעות, דאָס פּרוּוון השערות און די געבוירנטאָג־פּראָבלעם בעסער ווי מטבעות אָדער ביינדלעך.

רעזולטאַטן־רוים

37, גלייַכמעסיק

באַגריפֿן וואָס ווערן באַהאַנדלט

≥ 8

געצייג אויף דעם וועבזייַטל

פֿרייַ, אינעם בלעטערער

לעקציע נול

EV = −1/37, שטענדיק

פֿאַר וואָס רולעט

אַ מטבע האָט צוויי רעזולטאַטן און אַ ביינדל זעקס; ביידע זענען צו קליין כּדי צו ווייַזן די געבוירנטאָג־פּראָבלעםמאַטעמאַטיקגעבוירנטאָג־פּראָבלעםוויפֿל מענטשן מע דאַרף ביז צוויי האָבן מסתּמא דעם זעלבן געבוירנטאָג, אָדער וויפֿל דרייען ביז אַ נומער חזרט זיך מסתּמא איבער. אויף אַ ראָד מיט 37 פֿעכער זענען 8 דרייען גענוג פֿאַר אַ שאַנס בעסער ווי האַלב אויף האַלב.לייענט אין גאַנצן ← אָדער אַ כי־קוואַדראַט־טעסטלאַבאָראַטאָריעכי־קוואַדראַט־טעסטאַ סטאַטיסטישער טעסט וואָס פֿאַרגלייַכט די באַמערקטע טרעפֿערס אין יעדן פֿאַך מיט די דערוואַרטע n/37. מע ניצט אים כּדי צו משפּטן צי אַ ראָד איז פֿאַרקרימט.לייענט אין גאַנצן ← מיט עפּעס אַ דראַמע. אַ פּאַקל קאָרטן האָט זכּרון. רולעט האָט 37 גלייַך־וואַרשייַנלעכע רעזולטאַטן, פֿעסטע אויסצאָלונגעןגעלטאויסצאָלונגוואָס אַ געווינענדיק געוועט ברענגט, אָנגעגעבן ווי „X צו 1“ אויבן אויפֿן צוריקגעגעבענעם אייַנזאַץ.לייענט אין גאַנצן ← וואָס מאַכן פֿון דער דערוואַרטונג אַ חשבון פֿון איין שורה, אומאָפּהענגיקייט דורך דער פֿיזישער קאָנסטרוקציע, און אַ פֿאָרטייל קליין גענוג כּדי זיך צו באַהאַלטן אין אַ סעסיע און גרויס גענוג כּדי צו באַהערשן אַ יאָר. עס האָט אויך צוויי יאָרהונדערטער דאָקומענטירטע טעותים צו צעלייגן.

אַ מטבע, אַ ביינדל און קאָרטן מאַכן אָרט פֿאַר די 37 גלייַך־וואַרשייַנלעכע רעזולטאַטן פֿון רולעט.

כי־קוואַדראַט־טעסט

אַ סעריע לעקציעס

לעקציעבאַגריףבייַשפּיל פֿון רולעטגעצייג אויף דעם וועבזייַטל

1וואַרשייַנלעכקייט ווי ציילןp(bet) = n/37רולעט־שאַנסן־קאַלקולאַטאָר

2דערוואַרטונגEV = (n/37)(36/n − 1) − (37 − n)/37 = −1/37געוועט־בויער

3אומאָפּהענגיקייט און דער כּלל פֿון פֿאַרמערן(18/37)² פֿאַר צוויי מאָל רויטדי וואַרשייַנלעכקייט פֿון סעריעס בייַ רולעט

4דער היפּוך און „כאָטש איין מאָל“1 − (36/37)³⁷ = 63.7%די וואַרשייַנלעכקייט בייַ רולעט

5וואַריאַנץ און סטאַנדאַרט־אָפּווייַכונגσ = 5.84 (איינצל־נומער) קעגן 1.00 (רויט), דיזעלבע EVוואַריאַנץ

6דאָס געזעץ פֿון גרויסע צאָלן (און וואָס עס זאָגט נישט)דער דורכשניט קומט צונויף; די סומע גייט פֿונאַנדעראויף לאַנגע דיסטאַנץ: דאָס געזעץ פֿון גרויסע צאָלן

7דער שפּילער־טעות26 מאָל שוואַרץ, 1913דער שפּילער־טעות

8צופֿעליקע גאַנגען און באַנקראָטדי פֿאָרמל פֿונעם שפּילערס באַנקראָטבאַנקראָט־ריזיקע־קאַלקולאַטאָר

9פּרוּוון השערותכי־קוואַדראַט אויף 37 פֿעכעראַנאַליזאַטאָר פֿון רולעט־ראָד־פֿאַרקרימונג

10די געבוירנטאָג־פּראָבלעםאַ חזרה אין משך פֿון 8 דרייען, 56%אויפֿגאַבע: דאָס געבוירנטאָג־ראָד

11מאָנטע־קאַרלאָ־סימולאַציע10,000 סעסיעס אין איין סעקונדערולעט־סטראַטעגיע־סימולאַטאָר

12פֿאַר וואָס סיסטעמען פֿאַלן דורךדי לינעאַריטעט פֿון דער דערוואַרטונגקען מען באַזיגן רולעט?

לערנען אָן לערנען אַזאַרטשפּיל

ניצט שפּיל־געלט און די דעמאָ־שפּיל, וואָס האָט קיין אמתע אייַנזאַצן. הייבט אָן מיט דער דערוואַרטער ווערטמאַטעמאַטיקדערוואַרטע ווערטדער דורכשניטלעכער רעזולטאַט פּער געוועט אויף לאַנגע דיסטאַנץ. −1/37 פֿונעם אייַנזאַץ פֿאַר יעדן סטאַנדאַרטן אייראָפּעיִשן געוועט.לייענט אין גאַנצן ← און קומט צו איר אַלע מאָל צוריק: יעדע איבונג ענדיקט זיך מיט „און די דערוואַרטע ווערט איז −1/37 פֿונעם אייַנזאַץ“. ניצט די סיסטעמען ווי קעגן־בייַשפּילן, נישט ווי מעטאָדן: די איבונג איז צו געפֿינען דעם פֿעלער, און דער סימולאַטאָר מאַכט דעם פֿעלער זעעוודיק אין עטלעכע סעקונדעס. נעמט אַרייַן די געשיכטע פֿון מענטשן וואָס האָבן פֿאַרלוירן. דער לימוד איז אַז די אַריטמעטיק געווינט, און דאָס איז דאָס היפּוך פֿון אַ רעקלאַמע.

איבונגען וואָס אַרבעטן

לאָזט די תּלמידים פֿאָרויסזאָגן נאָך וויפֿל דרייען עס וועט זיך עפּעס איבערחזרן, און דערנאָך לאָזט לויפֿן די דעמאָ־שפּיל צען מאָל (די געבוירנטאָג־פּראָבלעם). לאָזט זיי שרייַבן אַ „סיסטעם“ אינעם סטראַטעגיע־רעדאַקטאָר און לאָזן לויפֿן 10,000 סעסיעס (די לינעאַריטעט פֿון דער דערוואַרטונג). לאָזט זיי אויסרעכענען די וואַרשייַנלעכקייטמאַטעמאַטיקוואַרשייַנלעכקייטדער שאַנס פֿון אַ רעזולטאַט, פֿון 0 ביז 1 אָדער פֿון 0% ביז 100%. איין נומער: 1/37 = 2.70%.לייענט אין גאַנצן ← פֿון דער סעריע פֿון 1913, און דערנאָך די וואַרשייַנלעכקייט אַז אַזאַ סעריע קומט פֿאָר ערגעץ אין פֿופֿציק יאָר מאָנטע־קאַרלאָ (דער אונטערשייד צווישן אַ באַשטימטער געשעעניש און עפּעס אַ געשעעניש). לאָזט זיי געפֿינען דעם „פֿאַרקרימטן“ פֿאַךאויסריכטפֿאַךאיינער פֿון די 37 נומערירטע אָפּטיילן אויפֿן ראָטאָר. אויך: שפּאַלט, בעכערל.לייענט אין גאַנצן ← אין אַ יושרדיקער געשיכטע פֿון דרייען, און דערנאָך צעמישן די דאַטן (פֿילפֿאַכע פֿאַרגלייַכן).

ווי גיך די אינטויִציע פֿון תּלמידים טועט זיך (געוויינטלעכע השערות אין קלאַס קעגן דעם אמת)

דרייען ביז אַ חזרה: השערה ≈ 19, אמת 8

8 קעגן 19

p(≥1 טרעף אין 37 דרייען): השערה 100%, אמת 63.7%

63.7% קעגן 100%

p(רויט נאָך 10 מאָל רויט): השערה „ווייניקער“, אמת 48.65%

48.65%

סעסיעס מיט פּראָפֿיט, מאַרטינגייל: השערה ≈ 95%, אמת ≈ 78%

78% קעגן 95%

דורכשניטלעכער רעזולטאַט, מאַרטינגייל: השערה „פּאָזיטיוו“, אמת נעגאַטיוו

נעגאַטיוו

050100

יעדער ריס איז אַ לעקציע. דער לעצטער איז דער גאַנצער קורס.

לייענען פֿאַרעפֿנטלעכטע דריי־היסטאָריעס סטאַטיסטישע באַדייטיקייט

פֿאַר וואָס עס בלייַבט

תּלמידים געדענקען די 26 מאָל שוואַרץגעוועטשוואַרץאַ גלייַך־געלט־געוועט אויף די 18 שוואַרצע נומערן. אויף פֿראַנצויזיש: נואַר.לייענט אין גאַנצן ←, דזשעגערס ראָד, און דעם מאָמענט ווען דער סימולאַטאָר האָט געוויזן ווי זייער סיסטעם פֿאַרלירט. אַבסטראַקטע וואַרשייַנלעכקייט פֿאַרגעסט מען ביזן עקזאַמען; אַ ראָד נישט. די עטישע ליניע איז קלאָר: לערנט די אַריטמעטיק וואָס מאַכט דאָס שפּיל פֿאַר אַ שלעכט געוועט, מיט דער הילף פֿונעם שפּיל אַליין, און די תּלמידים וואָס וועלן שפּעטער שפּילן אויף געלט, וועלן כאָטש וויסן דעם פּרייַז.

באַרימטע רולעט־שפּילער

פֿראַגעס

פּאַסט עס פֿאַר שול־קינדער?

מיט שפּיל־געלט און מיט דער קלאָרער דערקלערונג אַז דער קאַזינאָ־פֿאָרטיילמאַטעמאַטיקקאַזינאָ־פֿאָרטיילדער חלק פֿון יעדן אייַנזאַץ וואָס דער קאַזינאָ האַלט אין דורכשניט: 2.70% בייַ אייראָפּעיִשער רולעט.לייענט אין גאַנצן ← איז דער לימוד; אַ סך לערן־פּראָגראַמען ניצן שוין ביינדלעך און לאָטעריעס, און רולעט איז אַ רייַכערע ווערסיע פֿון דעם זעלבן.

מיט וועלכער זייַט זאָל אַ לערער אָנהייבן?

„דער קאַזינאָ־פֿאָרטייל בייַ רולעט“, דערנאָך די דעמאָ־שפּיל, דערנאָך דער רולעט־סטראַטעגיע־סימולאַטאָר.

איז די דעמאָ־שפּיל זיכער פֿאַר אַ קלאַס?

זי האָט קיין אמת געלט, קיין קאָנטעס און קיין לינקען צו אָפּעראַטאָרן.

אַ ביסל הומאָר

זיבן און דרייַסיק רעזולטאַטן, איין פֿאָרטייל, צוויי יאָרהונדערטער טעותים צו לערנען זיך פֿון זיי.

מקורים

Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley, 3טע אויסגאַבע, 1968. דער שפּילערס באַנקראָט, קאַפּיטל XIV.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. קאַפּיטל 13, רולעט.

איבערגעקוקט 2026-09-28מאָדעל: אייראָפּעיִש, איין נולמעטאָדאָלאָגיע ↗מקורים ↗