אויף לאַנגע דיסטאַנץ: דאָס געזעץ פֿון גרויסע צאָלן בייַ רולעט
ווי אַזוי דער דורכשניט באַזעצט זיך לעבן −2.70%, און פֿאַר וואָס דאָס דויערט לענגער ווי די אינטויִציע מיינט.
דער דורכשניטלעכער פֿאַרלוסט פּער דריי גייט צו −1/37 ווען די דרייען קלייַבן זיך אָן, מיט אַ צעשפּרייט וואָס ווערט קלענער ווי 1/√N. נאָך 1,000 דרייען אויף רויט ליגט דער דורכשניט געוויינטלעך אין ±3% פֿון זייַן דערוואַרטונג.
געזעץ פֿון גרויסע צאָלן
דער לויפֿנדיקער דורכשניט פֿון אומאָפּהענגיקע געוועטן גייט צו דער דערוואַרטער ווערטמאַטעמאַטיקדערוואַרטע ווערטדער דורכשניטלעכער רעזולטאַט פּער געוועט אויף לאַנגע דיסטאַנץ. −1/37 פֿונעם אייַנזאַץ פֿאַר יעדן סטאַנדאַרטן אייראָפּעיִשן געוועט.לייענט אין גאַנצן ←. נאָך N דרייען אויף גלייַך געלט מיט איין אייַנהייטגעלטאייַנהייטדער באַזע־אייַנזאַץ אין וועלכן אַ סיסטעם אָדער אַ שפּילער אַרבעט. פּראָגרעסיעס ווערן באַשריבן אין אייַנהייטן, כּדי זיי זאָלן פּאַסן בייַ יעדן טיש.לייענט אין גאַנצן ← האָט דער דורכשניטלעכער רעזולטאַט פּער דריי אַ דערוואַרטונג פֿון −1/37 און אַ סטאַנדאַרט־אָפּווייַכונגמאַטעמאַטיקסטאַנדאַרט־אָפּווייַכונגדער קוואַדראַט־וואָרצל פֿון דער וואַריאַנץ; די טיפּישע ווייַטקייט פֿון אַ רעזולטאַט פֿון דער דערוואַרטער ווערט.לייענט אין גאַנצן ← פֿון 1/√N. בייַ N = 100 איז דער צעשפּרייט 10% פֿונעם אייַנזאַץ, כּמעט פֿיר מאָל גרעסער ווי דער סיגנאַל פֿון 2.7%. בייַ N = 1,000 איז ער 3.2%, בערך אַזוי פֿיל ווי דער סיגנאַל. בייַ N = 10,000 איז ער 1%, און דער פֿאָרטייל איז קלאָר צו זען. אין איין סעסיע זעט מען נישט דעם פֿאָרטייל; אין אַ יאָר קען מען אים נישט פֿאַרפֿעלן.
וואָס קאָנווערגירט און וואָס נישט
דער דורכשניט פּער דריי קאָנווערגירט. דער סך־הכּל נישט: ער גייט וואָס ווייַטער פֿון נול ווען N וואַקסט, אין דורכשניט מיט בערך 2.7% פֿון N, מיט אַ צעשפּרייט פֿון √N אַרום דעם. אַ שפּילער וואָס האָט געשפּילט 10,000 דרייען צו $10 איז, לויט דער דערוואַרטונג, אין מינוס מיט $2,700, פּלוס־מינוס $1,000. דער לויפֿנדיקער חלק רויטעגעוועטרויטאַ גלייַך־געלט־געוועט אויף די 18 רויטע נומערן. אויף פֿראַנצויזיש: רוזש.לייענט אין גאַנצן ← האָט זיך שוין לאַנג באַזעצט לעבן 48.65%; דער לויפֿנדיקער באַלאַנס האָט זיך ערגעץ נישט באַזעצט.
- p10 −$440
- p25 −$280
- מעדיאַן −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
פֿאַר וואָס די אינטויִציע טועט זיך
מענטשן ריכטן זיך אַז דער פֿאָרטייל וועט זיך באַווייַזן גיך, ווייַל 2.70% קלינגט ווי אַ סך, און אַז לאַנגע סעריעס וועלן זיך „אויסגלייַכן“, ווייַל דאָס געזעץ פֿון גרויסע צאָלןמאַטעמאַטיקגעזעץ פֿון גרויסע צאָלןדער דורכשניט פֿון אומאָפּהענגיקע רעזולטאַטן דערנענטערט זיך צו דער דערוואַרטער ווערט ווען די צאָל פּרוּוון וואַקסט.לייענט אין גאַנצן ← זאָגט אַז דורכשניטן קאָנווערגירן. ביידע אינטויִציעס טועט זיך אין דער מאָס: דער פֿאָרטייל איז קליין לעבן דער וואַריאַנץמאַטעמאַטיקוואַריאַנץאַ מאָס ווי ברייט די רעזולטאַטן צעשפּרייטן זיך אַרום דער דערוואַרטער ווערט. הויך פֿאַר אַ געוועט אויף איין נומער, נידעריק פֿאַר גלייַך־געלט־געוועטן.לייענט אין גאַנצן ← פֿון איין דריי (σ = 1 אייַנהייט קעגן EV = 0.027), אַזוי אַז עס נעמט (1/0.027)² ≈ 1,400 דרייען ביז ער ווערט זעיִק אויף איין סיגמע. און די קאָנווערגענץ פֿונעם דורכשניט ציט גאָרנישט צוריק דעם סך־הכּל; זי צעדינט נאָר די פֿריִערדיקע שוואַנקונגען.
קאָנווערגענץ בייַ אַנדערע געוועטן
בייַ געוועטן אויף איין נומערגעוועטאיינצל־נומעראַן איינציקער נומער, צאָלט 35:1.לייענט אין גאַנצן ← איז σ = 5.84, אַזוי גיט דער זעלביקער חשבון (5.84/0.027)² ≈ 47,000 דרייען ביז דער פֿאָרטייל דערגרייכט איין סיגמע. אַ שפּילער אויף איין נומער קען שפּילן יאָרן לאַנג, און אין זייַנע אייגענע רעקאָרדן וועט מען דעם פֿאָרטייל נישט קענען אָפּשיידן פֿון גליק, כאָטש ער צאָלט פּונקט די זעלבע 2.70% ווי דער שפּילער אויף רויט, וואָס זעט עס אין משך פֿון וואָכן.
וואָס דאָס מיינט פֿאַרן טעסטירן סיסטעמען
ווער עס טענהט אַז אַ סיסטעם אַרבעט, זאָל עס קענען ווייַזן איבער 10,000 אָדער מער דרייען מיט אַ דאָקומענטירטן פּאָזיטיוון דורכשניט. בייַ 1,000 דרייען אויף גלייַך געלט איז אַ פּאָזיטיווער דורכשניט אַ פֿאַל פֿון איינס אין פֿינף אונטער דער נול־היפּאָטעז; בייַ 100 דרייען איז עס כּמעט ווי וואַרפֿן אַ מטבע. די סימולאַטאָרן אויף דעם זייטל לאָזן לויפֿן 2,000 סעסיעס פֿון דער לענג וואָס איר קלייַבט אין איין סעקונדע, און דאָס איז מער באַווייַז ווי סיי וועלכע עדות.
פֿאָרמולע
פֿראַגעס
די וואַרשייַנלעכקייטמאַטעמאַטיקוואַרשייַנלעכקייטדער שאַנס פֿון אַ רעזולטאַט, פֿון 0 ביז 1 אָדער פֿון 0% ביז 100%. איין נומער: 1/37 = 2.70%.לייענט אין גאַנצן ← נאָך אַ מאָל צו זייַן אין פּלוס פֿאַלט צו נול וואָס מער איר שפּילט. דער סך־הכּל גייט אַראָפּ אָן אַ גרענעץ.
ניין. עס מיינט אַז די פֿריִערדיקע שוואַנקונגען ווערן אַ קלענערער חלק פֿון אַ גרעסערן מוסטער.
בייַ גלייַך געלט, בערך 10,000 איידער דער פֿאָרטייל איז קלאָר צו זען. בייַ געוועטן אויף איין נומער, בערך 50,000.
שפּאַס מיט מאַטעמאַטיק
פּרוּווט זיי פֿריִער אַליין. יעדע לייזונג איז צוגעדעקט; עפֿנט זי ווען איר זייט גרייט.
צוויי פֿרייַנד שפּילן 20 רונדעס פֿון אַ יושרדיק שפּילמאַטעמאַטיקיושרדיק שפּילאַ שפּיל אין וועלכער קיין זייַט האָט נישט קיין פֿאָרטייל: יעדעס געוועט האָט אַ דערוואַרטע ווערט פֿון נול.לייענט אין גאַנצן ←, וואַרפֿן אַ מטבע אָדער רויטגעוועטרויטאַ גלייַך־געלט־געוועט אויף די 18 רויטע נומערן. אויף פֿראַנצויזיש: רוזש.לייענט אין גאַנצן ← קעגן שוואַרץגעוועטשוואַרץאַ גלייַך־געלט־געוועט אויף די 18 שוואַרצע נומערן. אויף פֿראַנצויזיש: נואַר.לייענט אין גאַנצן ← מיט צוריקגעגעבענע נולןראָדנולדער איינציקער גרינער פֿאַך וואָס קיין גלייַך־געלט־, טוץ־ אָדער שפּאַלט־געוועט דעקט נישט; דער מקור פֿונעם קאַזינאָ־פֿאָרטייל. אויך: איינציקער נול, 0.לייענט אין גאַנצן ←, און פֿירן אַ לויפֿנדיקן חשבון. ציילט פֿאַר יעדן ווי פֿיל רונדעס ער איז פֿאָרויס (אַ גלייַכער חשבון ציילט פֿאַר דעם וואָס איז געווען פֿאָרויס פּונקט פֿריִער). וואָס איז מער וואַרשייַנלעך: אַז די פֿירונג איז צעטיילט 10 רונדעס אויף 10, אָדער אַז איין פֿרייַנד פֿירט אַלע 20?
ווייַזט די לייזונג
ענטפֿער אַז איין פֿרייַנד פֿירט אַלע 20 רונדעס איז אַ סך מער וואַרשייַנלעך: 35.2%, ווען מע ציילט ביידע פֿרייַנד, קעגן 6.1% פֿאַר אַ גלייַכן 10 אויף 10.
דער שאַנס אַז אַ יושרדיקער לויפֿנדיקער חשבון איז גלייַך נאָך 2k רונדעס איז u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0.246 נאָך 10 רונדעס און 0.176 נאָך 20. אַ קלאַסישער רעזולטאַט, דאָס אַרקסינוס־געזעץ, זאָגט אַז דער שאַנס אַז איין באַשטימטער פֿרייַנד פֿירט פּונקט 2k פֿון 2n רונדעס איז u(2k) × u(2n − 2k).
פֿירן אַלע 20: u(20) × u(0) = 0.176 פֿאַר יעדן פֿרייַנד, 35.2% פֿאַר איינעם פֿון ביידע. אַ גלייַכע צעטיילונג: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%, די ווייניקסט וואַרשייַנלעכע צעטיילונג פֿון אַלע.
אַלזאָ גייט אין אַ יושרדיק שפּיל די פֿירונג זעלטן איבער פֿון האַנט צו האַנט. אַ שפּילער וואָס איז געווען פֿאָרויס דעם גאַנצן אָוונט, אָדער הינטן דעם גאַנצן אָוונט, האָט גאָרנישט אומגעוויינטלעכס נישט געזען, און עס זאָגט גאָרנישט וועגן דעם ראָד אָדער וועגן געניטשאַפֿט. עפּשטיין (2013) גיט דאָס זעלבע געזעץ פֿאַר לענגערע שפּילן: האַלב פֿון די מאָל פֿירט די גליקלעכערע זייַט מער ווי 85% פֿון דער שפּיל.
אַ ביסל הומאָר
דער דורכשניט קאָנווערגירט. דער סך־הכּל גייט פּשוט אַוועק.
מקורים
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.