אויפֿגאַבע: דאָס געבוירנטאָג־ראָד
ווי פֿיל דרייען ביז אַ נומער חזרט זיך איבער? אַ סך ווייניקער ווי רוב מענטשן טרעפֿן.
די געבוירנטאָג־פּראָבלעם אויף אַ ראָד מיט 37 פֿעכעראויסריכטפֿאַךאיינער פֿון די 37 נומערירטע אָפּטיילן אויפֿן ראָטאָר. אויך: שפּאַלט, בעכערל.לייענט אין גאַנצן ←: נאָך בלויז 8 דרייען איז דער שאַנס בעסער ווי האַלב אויף האַלב אַז אַ נומער איז שוין אַרויס צוויי מאָל. שפּילער לייענען איבערחזרונגען ווי מוסטערן; זיי זענען די דערוואַרטע אויפֿפֿירונג פֿון אַ יושרדיק ראָד.
די אויפֿגאַבע
דרייט אַ יושרדיק אייראָפּעיִש ראָד. ווי פֿיל דרייען ביז די וואַרשייַנלעכקייטמאַטעמאַטיקוואַרשייַנלעכקייטדער שאַנס פֿון אַ רעזולטאַט, פֿון 0 ביז 1 אָדער פֿון 0% ביז 100%. איין נומער: 1/37 = 2.70%.לייענט אין גאַנצן ← אַז כאָטש צוויי דרייען האָבן געוויזן דעם זעלבן נומער איז מער ווי האַלב? רוב שפּילער טרעפֿן ערגעץ אַרום 18 אָדער 19, האַלב פֿון 37. דער ענטפֿער איז 8.
די לייזונג
רעכנט אויס די וואַרשייַנלעכקייט פֿון קיין איבערחזרונג און נעמט זי אַוועק פֿון איינס. נאָך k דרייען איז p(אַלע אַנדערש) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). פֿאַר k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, אַזוי אַז p(אַן איבערחזרונג) ≈ 0.56. פֿאַר k = 14 איז עס 0.93; פֿאַר k = 20 איז עס 0.996. די אינטויִציע טועט זיך, ווייַל די צאָל פּאָרן דרייען וואַקסט ווי k², און סיי וועלכע פּאָר קען זיך צונויפֿפֿאַלן.
פֿאַר וואָס דאָס איז וויכטיק בייַם טיש
אַ רעזולטאַטן־טאָוול מיט די לעצטע 20 נומערן וועט כּמעט שטענדיק ווייַזן כאָטש איין איבערחזרונג, אָפֿט צוויי אָדער דרייַ. שפּילער זעען „17 איז אַרויס צוויי מאָל אין צען דרייען“ און באַשליסן אַז 17 איז הייס; דער געבוירנטאָג־חשבון זאָגט אַז אַן איבערחזרונג אין משך פֿון צען דרייען געשעט 74% פֿון די מאָל, און דער איבערגעחזרטער נומער איז צופֿעליק. דער מוסטער איז אמת; דער באַדייַט איז נישט.
די ווייַטערדיקע אויפֿגאַבע
ווי פֿיל דרייען ביז אַ באַשטימטער נומער, למשל 17, איז אַרויס צוויי מאָל? דאָס איז אַן אַנדער פֿראַגע מיט אַ סך אַ גרעסערן ענטפֿער: די דערוואַרטע וואַרטצייַט איז 74 דרייען, און די וואַרשייַנלעכקייט פֿון צוויי מאָל 17 אין משך פֿון 20 דרייען איז בערך 10%. דער אונטערשייד צווישן „אַ נומער חזרט זיך איבער“ (8 דרייען) און „דער דאָזיקער נומער חזרט זיך איבער“ (74 דרייען) איז דער גאַנצער אונטערשייד צווישן אַ מוסטער וואָס מע באַמערקט נאָכדעם און אַ פֿאָרויסזאָג וואָס מע מאַכט פֿריִער.
פּרוּווט עס
לאָזט לויפֿן די דעמאָ־שפּיל צען דרייען און קוקט אויף דער געשיכטע. געוויינטלעך וועט זייַן אַן איבערחזרונג. לאָזט עס לויפֿן נאָך אַ מאָל. דער איבערגעחזרטער נומער וועט זייַן אַן אַנדערער. טוט עס צען מאָל, און איר האָט געזען די געבוירנטאָג־פּראָבלעםמאַטעמאַטיקגעבוירנטאָג־פּראָבלעםוויפֿל מענטשן מע דאַרף ביז צוויי האָבן מסתּמא דעם זעלבן געבוירנטאָג, אָדער וויפֿל דרייען ביז אַ נומער חזרט זיך מסתּמא איבער. אויף אַ ראָד מיט 37 פֿעכער זענען 8 דרייען גענוג פֿאַר אַ שאַנס בעסער ווי האַלב אויף האַלב.לייענט אין גאַנצן ←; טוט עס טויזנט מאָל (די סימולאַטאָרן קענען), און איר האָט זי געמאָסטן.
פֿאָרמולע
פֿראַגעס
פּונקט, מיט 37 פֿעכער אַנשטאָט 365 טעג. 23 מענטשן געבן 50% פֿאַר געבוירנטעג; 8 דרייען געבן 56% פֿאַרן ראָד.
50% נאָך בערך 19 דרייען. אויך גאָרנישט אויסערגעוויינטלעך.
ניין. טויזנטער דרייען פֿון איין ראָד וואָלטן געקענט; אַן איבערחזרונג קיין מאָל נישט.
שפּאַס מיט מאַטעמאַטיק
פּרוּווט זיי פֿריִער אַליין. יעדע לייזונג איז צוגעדעקט; עפֿנט זי ווען איר זייט גרייט.
אַ רעזולטאַטן־טאָוול לעבן אַן אַמעריקאַניש ראָד ווייַזט די לעצטע 16 דרייען. ווי וואַרשייַנלעך איז, אַז קיין נומער באַווייַזט זיך נישט אויף אים צוויי מאָל?
ווייַזט די לייזונג
ענטפֿער בערך 2.5%: אומגעפֿער 39 טאָוולען פֿון 40 ווייַזן כאָטש איין איבערחזרונג.
גייט דריי נאָך דריי. דער ערשטער דריי קען זייַן וואָס עס זאָל נישט זייַן. דער צווייטער מוז אים פֿאַרפֿעלן: 37 שאַנסן פֿון 38. דער דריטער מוז פֿאַרפֿעלן ביידע: 36 פֿון 38. דער זעכצנטער מוז פֿאַרפֿעלן פֿופֿצן נומערן: 23 פֿון 38.
מולטיפּליצירט: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
אַ טאָוול אָן אַן איבערחזרונג איז דער זעלטענער. אַ טאָוול מיט אַן איבערחזרונג זאָגט גאָרנישט וועגן דעם ראָד.
אין צען דרייען פֿון אַן אייראָפּעיִש ראָד, וואָס איז דער שאַנס אַז 17 פֿאַלט פּונקט פֿינף מאָל? אַז עפּעס אַ נומער, וועלכער עס זאָל נישט זייַן, פֿאַלט פֿינף מאָל אָדער מער? און אַז עפּעס אַ נומער פֿאַלט כאָטש דרייַ מאָל אין פֿיר דרייען?
ווייַזט די לייזונג
ענטפֿער 17 פּונקט פֿינף מאָל: 1 פֿון 315,576. עפּעס אַ נומער פֿינף מאָל אָדער מער: בערך 1 פֿון 8,333. עפּעס אַ נומער דרייַ מאָל אָדער מער אין פֿיר דרייען: 1 פֿון 349.
17 פֿינף מאָל: קלייַבט אויס וועלכע פֿינף פֿון די צען דרייען, 252 אופֿנים, יעדער מיט אַ שאַנס פֿון (1/37)⁵ × (36/37)⁵. צוזאַמען, 1 פֿון 315,576.
עפּעס אַ נומער: יעדער פֿון די 37 נומערן האָט אַ שאַנס פֿון 1 פֿון 308,325 אויף פֿינף טרעפֿן אָדער מער, וואָס גיט 37 פֿון 308,325, אָדער 1 פֿון 8,333. דער זעלטענער פֿאַל פֿון צוויי נומערן מיט פֿינף טרעפֿן יעדער ווערט געציילט צוויי מאָל, אָבער אים אַרויסנעמען בייַט גאָרנישט בייַ דער דאָזיקער גענויִקייט.
דרייַ מאָל אין פֿיר דרייען: פֿאַר איין נומער, 4 × 36 + 1 = 145 פֿון די 37⁴ מעגלעכע רעזולטאַטן; פֿאַר וועלכן עס איז פֿון די 37 נומערן, 145/37³ = 1 פֿון 349.
פֿאַר אַ ראָד מיט טאָפּלטן נולראָדנולדער איינציקער גרינער פֿאַך וואָס קיין גלייַך־געלט־, טוץ־ אָדער שפּאַלט־געוועט דעקט נישט; דער מקור פֿונעם קאַזינאָ־פֿאָרטייל. אויך: איינציקער נול, 0.לייענט אין גאַנצן ← זענען די פּאַסיקע ציפֿערן 1 פֿון 359,275, 1 פֿון 9,243 און 1 פֿון 368. דער חילוק צווישן „17“ און „עפּעס אַ נומער“ איז ווידער די געבוירנטאָג־פּראָבלעםמאַטעמאַטיקגעבוירנטאָג־פּראָבלעםוויפֿל מענטשן מע דאַרף ביז צוויי האָבן מסתּמא דעם זעלבן געבוירנטאָג, אָדער וויפֿל דרייען ביז אַ נומער חזרט זיך מסתּמא איבער. אויף אַ ראָד מיט 37 פֿעכער זענען 8 דרייען גענוג פֿאַר אַ שאַנס בעסער ווי האַלב אויף האַלב.לייענט אין גאַנצן ←: עס זענען דאָ 37 אופֿנים צו ווערן איבערראַשט.
אַ ביסל הומאָר
עפּעס חזרט זיך איבער גאַנץ פֿרי. וואָס דווקא, איז צופֿעליק.
מקורים
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.