אויפֿגאַבע: דער טיש־לימיט
אַ מאַרטינגייל פֿון $10 בייַ אַ טיש מיט $500. ווי אָפֿט צעברעכט ער זיך, ווי פֿיל פֿאַרלירט ער ווען ער צעברעכט זיך, און העלפֿט עס אויפֿצוהייבן דעם לימיט?
זעקס פֿאַרלוסטן נאָך אַנאַנד צעברעכן אים: 1.8% פּער ציקל, בערך 60% פֿון סעסיעס פֿון 100 דרייען. דער צעבראָך קאָסט $630. אויפֿהייבן דעם לימיט ביז $5,000 מאַכט דעם צעבראָך זעלטענער (0.25% פּער ציקל) און גרעסער ($5,110). דער דערוואַרטער פֿאַרלוסט פּער געשטעלטן דאָלאַר איז 2.70% בייַ יעדן לימיט.
די אויפֿגאַבע
אַ שפּילער שטעלט $10 אויף רויטגעוועטרויטאַ גלייַך־געלט־געוועט אויף די 18 רויטע נומערן. אויף פֿראַנצויזיש: רוזש.לייענט אין גאַנצן ← און טאָפּלט נאָך יעדן פֿאַרלוסט, און הייבט אָן פֿון דאָס נייַ נאָך אַ געווינס. דער מאַקסימום פֿונעם טיש איז $500. (a) ווי פֿיל פֿאַרלוסטן נאָך אַנאַנד צעברעכן די פּראָגרעסיעסטראַטעגיעפּראָגרעסיעיעדער כּלל וואָס בייַט דעם אייַנזאַץ לויט די פֿריִערדיקע רעזולטאַטן. נעגאַטיווע פּראָגרעסיעס הייבן אים אויף נאָך פֿאַרלוסטן, פּאָזיטיווע נאָך געווינסן.לייענט אין גאַנצן ←? (b) וואָס איז די וואַרשייַנלעכקייטמאַטעמאַטיקוואַרשייַנלעכקייטדער שאַנס פֿון אַ רעזולטאַט, פֿון 0 ביז 1 אָדער פֿון 0% ביז 100%. איין נומער: 1/37 = 2.70%.לייענט אין גאַנצן ← פּער ציקל? (c) וואָס פֿאַרלירט מען בייַם צעבראָך? (d) ווי אַזוי בייַט אַ לימיט פֿון $5,000 די ענטפֿערס? (e) מאַכט סיי וועלכער לימיט די סיסטעם פּראָפֿיטאַבל?
לייזונגען (a)–(c)
אייַנזאַצן: 10, 20, 40, 80, 160, 320. דער זיבעטער וואָלט געווען 640 > 500, אַזוי אַז זעקס פֿאַרלוסטן צעברעכן אים. (b) p(פֿאַרלוסט) = 19/37 אויף רויט; (19/37)⁶ = 0.0183, בערך 1.8% פּער ציקל. אַ ציקל דויערט אין דורכשניט בערך צוויי דרייען, אַזוי אַז אַ סעסיע פֿון 100 דרייען האָט בערך 50 ציקלען און p(כאָטש איין צעבראָך) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, וואָס איז 63 באַזע־אייַנהייטןגעלטאייַנהייטדער באַזע־אייַנזאַץ אין וועלכן אַ סיסטעם אָדער אַ שפּילער אַרבעט. פּראָגרעסיעס ווערן באַשריבן אין אייַנהייטן, כּדי זיי זאָלן פּאַסן בייַ יעדן טיש.לייענט אין גאַנצן ←, קעגן די $10 וואָס דער ציקל האָט געפּרוּווט געווינען.
לייזונג (d)
בייַ $5,000: אייַנזאַצן ביז 2,560 זענען דערלויבט; דער צענטער אייַנזאַץ, 5,120, ווערט אָפּגעזאָגט. נייַן פֿאַרלוסטן צעברעכן אים: (19/37)⁹ ≈ 0.25% פּער ציקל, בערך 11% פֿון סעסיעס פֿון 100 דרייען. פֿאַרלוסט בייַם צעבראָך: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. דער שפּילער האָט געקויפֿט אַ זעלטענערע קאַטאַסטראָפֿע פֿאַרן פּרייַז פֿון אַ גרעסערער. איבער אַ סך סעסיעס איז דער דערוואַרטער פּרייַז פֿון צעבראָכן p × פֿאַרלוסט ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 פּער ציקל בייַם לימיט פֿון $500 און 0.0025 × 5,110 = $12.8 בייַ $5,000; די צוויי זענען נאָענט אָבער נישט גלייַך, און יעדער איז דער דערוואַרטער פֿאַרלוסטמאַטעמאַטיקדערוואַרטער פֿאַרלוסטדי דערוואַרטע ווערט מאָל די גאַנצע געשטעלטע סומע; דער דורכשניטלעכער פֿאַרלוסט איבער אַ סעסיע אָדער אַ פּעריאָד.לייענט אין גאַנצן ← פֿונעם ציקל פּלוס די $10 וואָס די געווינענדיקע ציקלען ברענגען.
לייזונג (e)
ניין. דערוואַרטער פֿאַרלוסט פּער ציקל = (דערוואַרטער גאַנצער אייַנזאַץ אינעם ציקל) / 37, בייַ יעדן לימיט, ווייַל יעדעס געוועט איז −1/37 פֿון זיך אַליין. דער לימיט באַשליסט נאָר ווי דער פֿאַרלוסט ווערט פֿאַרטיילט צווישן אַ סך קליינע געווינסן און ווייניק גרויסע פֿאַרלוסטן. אָן אַ לימיט און מיט אַן אומענדלעכן שפּיל־קאַפּיטאַלגעלטשפּיל־קאַפּיטאַלדי גאַנצע סומע וואָס מע לייגט אַוועק פֿאַרן שפּילן. פֿאַרוואַלטונג פֿון שפּיל־קאַפּיטאַל הייסט באַשליסן וויפֿל דערפֿון צו ריזיקירן אויף אַ געוועט און אויף אַ סעסיע.לייענט אין גאַנצן ← וואָלט די פּראָגרעסיע „געאַרבעט“, אין דעם זינען אַז זי וואָלט זיך קיין מאָל נישט צעבראָכן, און זי וואָלט אויך געשטעלט אַן אומבאַגרענעצטע סומע מיט אַ דערוואַרטן פֿאַרלוסט פֿון 2.70% פֿון דער אומבאַגרענעצטער סומע. דער טיש־לימיטטישטיש־לימיטדאָס מינימאַלע און מאַקסימאַלע דערלויבטע געוועט. דער מאַקסימום איז וואָס שטעלט אָפּ טאָפּל־פּראָגרעסיעס.לייענט אין גאַנצן ← איז נישט דאָס וואָס שטערט דעם מאַרטינגיילסטראַטעגיעמאַרטינגיילאַ פּראָגרעסיע וואָס טאָפּלט דאָס געוועט נאָך יעדן פֿאַרלוסט. זעט דעם סטראַטעגיע־אָפּטייל וואָס זי טוט און וואָס זי טוט נישט.לייענט אין גאַנצן ← צו אַרבעטן. דער חשבון איז עס.
צוויי אמתע טישן
טאָרפּס בייַשפּיל איז אַ טיש פֿון $1 מיט אַ מאַקסימום פֿון $1,000, וווּ אַ שפּילער האָפֿט צו געווינען $30 אויף וואַרמעס, אַ דאָלאַר יעדעס מאָל. די אייַנזאַצן 1, 2, 4 … 512 דערלויבן צען געוועטן, אַזוי אַז צען פֿאַרלוסטן נאָך אַנאַנד צעברעכן די פּראָגרעסיע: איין מאָל אין 785 ציקלען אויף אַן אייראָפּעיִש ראָד (איין מאָל אין 613 אויף אַן אַמעריקאַניש), צום פּרייַז פֿון $1,023. דרייַסיק ציקלען געלינגען אַלע 96.2% פֿון די מאָל. די אַנדערע 3.8% פֿאַרלירן בערך $1,000, און דער דורכשניטלעכער רעזולטאַט פֿונעם אָוונט איז −$9.17, וואָס איז פּונקט 1/37 פֿון די $339 וואָס די דרייַסיק ציקלען שטעלן אין דורכשניט. אַ טיש פֿון $5 מיט אַ מאַקסימום פֿון $2,000 איז נישט אַנדערש: אייַנזאַצן ביז $1,280 דערלויבן נייַן געוועטן, און דער צעבראָך קומט איין מאָל אין 403 ציקלען אויף אַן אייראָפּעיִש ראָד (איין מאָל אין 323 אויף אַן אַמעריקאַניש) און קאָסט $2,555.
אַ רייַכער שפּילער
גיט דער פּראָגרעסיע אַ טיפֿן שפּיל־קאַפּיטאַל אַנשטאָט אַ נידעריקן לימיט: 1,000 אייַנהייטן, אַ באַזע פֿון איין אייַנהייט און 1,000 דרייען אויף רויט, און מע הייבט אָן פֿון דאָס נייַ מיט איין אייַנהייט יעדעס מאָל ווען די קומענדיקע טאָפּלונג איז מער ווי וואָס איז געבליבן. מיר האָבן סימולירט אַ מיליאָן אַזעלכע אָוונטן. אויף אַן אייראָפּעיִש ראָד ענדיקן 52% אין פּלוס, 21% פֿאַרלירן אַלץ, און דער דורכשניטלעכער רעזולטאַט איז −124 אייַנהייטן. אַפֿילו אין אַ שפּיל אָן נולראָדנולדער איינציקער גרינער פֿאַך וואָס קיין גלייַך־געלט־, טוץ־ אָדער שפּאַלט־געוועט דעקט נישט; דער מקור פֿונעם קאַזינאָ־פֿאָרטייל. אויך: איינציקער נול, 0.לייענט אין גאַנצן ←, וווּ יעדעס געוועט איז יושרדיק, וואָלטן נאָר בערך 60% געענדיקט אין פּלוס. דער געוויינטלעכער אָוונט איז אַ קליינער געווינס; דעם דורכשניט באַצאָלן די אָוונטן וואָס ענדיקן זיך בייַ נול.
דער לימוד
קאַזינאָס שטעלן לימיטן כּדי צו באַגרענעצן זייער אייגענע וואַריאַנץמאַטעמאַטיקוואַריאַנץאַ מאָס ווי ברייט די רעזולטאַטן צעשפּרייטן זיך אַרום דער דערוואַרטער ווערט. הויך פֿאַר אַ געוועט אויף איין נומער, נידעריק פֿאַר גלייַך־געלט־געוועטן.לייענט אין גאַנצן ←, נישט כּדי צו באַזיגן סיסטעמען. באַזיגן דעם מאַרטינגייל איז אַ זייַט־ווירקונג וואָס זיי זענען צופֿרידן צו האָבן, און דער חשבון וואָלט אים סיי ווי סיי באַזיגט. אַ שפּילער וואָס מיינט אַז דער לימיט איז די פּראָבלעם, האָט געפֿונען דעם תּהום און אים פֿאַרבייַטן מיטן שיפּוע.
פֿאָרמולע
פֿראַגעס
ער לאָזט אייך איבערלעבן ביז אַ העכערן לימיט, וווּ דער צעבראָך איז זעלטענער און גרעסער. דער דערוואַרטער פֿאַרלוסט פּער דאָלאַר בלייַבט דער זעלבער.
אייַנזאַצן 10, 30, 70, 150, 310: דער לימיט פֿון $500 ווערט דערגרייכט נאָך פֿינף פֿאַרלוסטן, און דער צעבראָך קאָסט $570. די זעלבע 2.70%.
כּדי איין שפּילער זאָל נישט קענען שטעלן מער ווי די רעזערוו פֿונעם קאַזינאָ קען באַקוועם באַצאָלן. פֿאַרוואַלטונג פֿון וואַריאַנץ.
שפּאַס מיט מאַטעמאַטיק
פּרוּווט זיי פֿריִער אַליין. יעדע לייזונג איז צוגעדעקט; עפֿנט זי ווען איר זייט גרייט.
אַ מאַרטינגיילסטראַטעגיעמאַרטינגיילאַ פּראָגרעסיע וואָס טאָפּלט דאָס געוועט נאָך יעדן פֿאַרלוסט. זעט דעם סטראַטעגיע־אָפּטייל וואָס זי טוט און וואָס זי טוט נישט.לייענט אין גאַנצן ← הייבט אָן מיט $100 אויף רויטגעוועטרויטאַ גלייַך־געלט־געוועט אויף די 18 רויטע נומערן. אויף פֿראַנצויזיש: רוזש.לייענט אין גאַנצן ← און דערלויבט זיך מאַקסימום n געוועטן אַ ציקל: נאָך n פֿאַרלוסטן נאָכאַנאַנד גיט ער אויף און הייבט אָן פֿון דאָס נייַ. שרייַבט דעם דורכשניטלעכן רעזולטאַט פֿון איין ציקל ווי אַ פֿאָרמל אין n, און רעכנט אים אויס פֿאַר 5, 6 און 7 געוועטן אויף אַן אייראָפּעיִש ראָד.
ווייַזט די לייזונג
ענטפֿער דער דורכשניט איז 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 פֿאַר 5 געוועטן, −$17.35 פֿאַר 6 און −$20.52 פֿאַר 7. מער געוועטן מאַכן דעם דורכשניטלעכן ציקל ערגער, נישט בעסער.
אַ ציקל געווינט $100 סייַדן אַלע n געוועטן פֿאַרלירן, וואָס טרעפֿט זיך מיט אַ שאַנס פֿון qⁿ, וווּ q = 19/37. ווען אַלע פֿאַרלירן, לייגן זיך די אייַנזאַצן 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ צונויף צו 100 × (2ⁿ − 1). אַלזאָ איז דער דורכשניט 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
דאָ איז 2q = 38/37, אַ ביסל מער ווי 1, אַלזאָ וואַקסט (2q)ⁿ מיט n און דער דורכשניט פֿאַלט: n = 5 גיט 1.1426 און −$14.26; n = 6 גיט 1.1735 און −$17.35; n = 7 גיט 1.2052 און −$20.52. אַ לענגערע לייטער פֿאַרלירט זעלטענער, אין 3.6%, 1.8% און 0.9% פֿון די ציקלען, אָבער יעדער פֿאַרלוסט איז צוויי מאָל אַזוי גרויס, און מער געלט גייט איבער דעם טיש יעדן ציקל, צו 2.70% פֿון יעדן געוועט.
אויף אַן אַמעריקאַניש ראָד איז 2q = 40/38 און די ציפֿערן זענען −$29.24, −$36.04 און −$43.20 (טיילאָר, 2021). אין אַ שפּיל אָן נולראָדנולדער איינציקער גרינער פֿאַך וואָס קיין גלייַך־געלט־, טוץ־ אָדער שפּאַלט־געוועט דעקט נישט; דער מקור פֿונעם קאַזינאָ־פֿאָרטייל. אויך: איינציקער נול, 0.לייענט אין גאַנצן ← איז 2q = 1, און יעדער ציקל גיט אין דורכשניט פּונקט נול, ווי לאַנג די לייטער זאָל נישט זייַן.
דער „גראַנד־מאַרטינגייל“ טאָפּלט דעם אייַנזאַץ נאָך אַ פֿאַרלוסט און לייגט צו איין אייַנהייטגעלטאייַנהייטדער באַזע־אייַנזאַץ אין וועלכן אַ סיסטעם אָדער אַ שפּילער אַרבעט. פּראָגרעסיעס ווערן באַשריבן אין אייַנהייטן, כּדי זיי זאָלן פּאַסן בייַ יעדן טיש.לייענט אין גאַנצן ←, אַלזאָ גייען די אייַנזאַצן 1, 3, 7, 15, 31 … וויפֿל זענט איר אין פּלוס ווען דער ערשטער געווינס קומט בייַם 1טן, 2טן, 3טן אָדער k־טן געוועט? בייַ אַן אייַנהייט פֿון $10 און אַ מאַקסימום פֿון $500, ווי אָפֿט צעברעכט זיך אַ ציקל, און וויפֿל קאָסט אַ ציקל אין דורכשניט?
ווייַזט די לייזונג
ענטפֿער אַ געווינס בייַם k־טן געוועט לאָזט אייַך k אייַנהייטן אין פּלוס: +1, +2, +3 און אַזוי ווייַטער. בייַ $10 און $500 צעברעכט זיך דער ציקל נאָך פֿינף פֿאַרלוסטן, 3.57% פֿון די ציקלען, פֿאַר −$570. אין דורכשניט פֿאַרלירט אַ ציקל $2.32 פֿון $85.73 אַרייַנגעשטעלט: 2.70%.
דער k־טער אייַנזאַץ איז 2ᵏ − 1 אייַנהייטן: 1, 3, 7, 15, 31. די ערשטע k − 1 אייַנזאַצן לייגן זיך צונויף צו 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. אַ געווינס בייַם k־טן געוועט צאָלט 2ᵏ − 1, אַלזאָ ענדיקט זיך דער ציקל (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k אייַנהייטן אין פּלוס: איין עקסטרע אייַנהייט פֿאַר יעדן פֿאַרלוסט פֿאַרן געווינס.
בייַ $10 אַן אייַנהייט זענען די אייַנזאַצן $10, $30, $70, $150 און $310; דער קומעדיקער, $630, איז איבערן מאַקסימום פֿון $500. פֿינף פֿאַרלוסטן נאָכאַנאַנד, (19/37)⁵ = 3.57%, קאָסטן 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
דורכשניט: די געווינסן ברענגען $10 × k מיט אַ שאַנס פֿון (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 פֿאַר k = 1 ביז 5, און דער צעבראָך נעמט $570 מיט אַ שאַנס פֿון 3.57%; צוזאַמען −$2.32. דאָס אַרייַנגעשטעלטע געלט איז אין דורכשניט $85.73 אַ ציקל, און 2.32/85.73 = 2.70%. דער געוויינטלעכער מאַרטינגייל בייַ דעם זעלבן טיש צעברעכט זיך נאָך זעקס פֿאַרלוסטן, 1.83% פֿון די ציקלען, פֿאַר −$630, און פֿאַרלירט $1.74 פֿון $64.20 אַרייַנגעשטעלט: ווידער 2.70%.
אַ שפּילער פּלאַנירט אַ מאַרטינגייל אויף רויט מיט אַן ערשטן געוועט פֿון $1 בייַ אַ טיש מיט אַ לימיט פֿון $1,000, אַלזאָ זענען מעגלעך צען געוועטן: $1, $2, $4 און אַזוי ווייַטער ביז $512. ווי אָפֿט פֿאַרלירט אַ ציקל אַלע צען, ווי לאַנג נעמט דאָס אין דורכשניט, און ווי אָפֿט ענדיקט זיך אַזוי אַן אָוונט פֿון 200 געוועטן?
ווייַזט די לייזונג
ענטפֿער אַ ציקל פֿאַרלירט אַלע צען בערך איין מאָל אין 784, וואָס קאָסט $1,023. דאָס איז בערך 1,600 געוועטן אין דורכשניט, און אַן אָוונט פֿון 200 געוועטן קלאַפּט זיך אָן אין דער וואַנט בערך 11% פֿון די מאָל. אַ ציקל פֿאַרלירט פֿאָרט $0.31 אין דורכשניט פֿון $11.31 אַרייַנגעשטעלט: 2.70%.
אַ געוועט אויף רויט פֿאַרלירט מיט אַ שאַנס פֿון 19/37, דער נול אַרייַנגערעכנט. צען נאָכאַנאַנד: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, בערך 1 אין 784. די אייַנזאַצן 1 + 2 + 4 + … + 512 לייגן זיך צונויף צו $1,023.
אַ ציקל נעמט אין דורכשניט 2.05 געוועטן, אַלזאָ נעמען 784 ציקלען בערך 1,600 געוועטן. געציילט דריי נאָך דריי, באַווייַזט זיך אַ סעריע פֿון צען פֿאַרלוסטן ערגעץ אין 200 געוועטן 11.3% פֿון די מאָל.
צווישן קאַטאַסטראָפֿעס געווינט דער שפּילער $1 אַ ציקל: בערך $783 פֿאַר דער שלעכטער, דערנאָך −$1,023, בערך −$240 איבער דער גאַנצער שטרעקע. פּער ציקל: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. אַרייַנגעשטעלט געלט פּער ציקל: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. און −0.31/11.31 = −2.70%.
פֿאַרגלייַכט אַן ערשט געוועט פֿון $10 בייַ אַ לימיט פֿון $500, זעקס געוועטן: די וואַנט קומט איין מאָל אין 55 ציקלען, און אַן אָוונט פֿון 200 געוועטן טרעפֿט זי 84% פֿון די מאָל. אַ העכערער לימיט מאַכט דעם קראַך זעלטענער און גרעסער, נישט ביליקער.
אַ ביסל הומאָר
זעלטענער און גרעסער, בייַ יעדן לימיט. דער פּראָדוקט איז קאָנסטאַנט.
מקורים
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.