די וואַרשייַנלעכקייט פֿון סעריעס בייַ רולעט
לאַנגע סעריעס פֿון איין קאָליר זענען געוויינטלעך. זיי באַדייטן אויך גאָרנישט פֿאַרן קומענדיקן דריי.
פֿינף מאָל רויט נאָך אַנאַנד: 2.7%. צען: 0.074%. אין אַ סעסיע פֿון 200 דרייען באַווייַזט זיך אַ סעריע פֿון זעקס פֿון איין קאָליר אָפֿטער יאָ ווי נישט.
ווי אָפֿט קומט אַ סעריע פֿון פֿאַרלוסטן
אַ גלייַך־געלט־געוועט אויף אַ ראָד מיט איין נול פֿאַרלירט 19 דרייען פֿון 37. יעדע ריי ווייַזט די שאַנס אַז אַ געוויסע צאָל דרייען נאָך אַנאַנד פֿאַרלירן אַלע, און וויפֿל אַ מאַרטינגייל־שפּילער, וואָס טאָפּלט נאָך יעדן פֿאַרלוסט, האָט ביז דעמאָלט פֿאַרלוירן.
| פֿאַרלוסטן נאָך אַנאַנד | שאַנס | בערך 1 פֿון | פֿאַרלוירן ביז איצט | דאָס קומעדיקע געוועט |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
די שאַנס איז 19/37 געמערט מיט זיך אַליין איין מאָל פֿאַר יעדן פֿאַרלוסט, גערעכנט פֿון איין באַשטימטן דריי. אין אַ לאַנגער סעסיע זענען פֿאַראַן אַ סך דרייען וווּ אַזאַ סעריע קען זיך אָנהייבן, האָט זי דעריבער במשך פֿון אַן אָוונט אַ סך מער שאַנסן ווי איין ריי ווייַזט.
איין סעריע
די וואַרשייַנלעכקייטמאַטעמאַטיקוואַרשייַנלעכקייטדער שאַנס פֿון אַ רעזולטאַט, פֿון 0 ביז 1 אָדער פֿון 0% ביז 100%. איין נומער: 1/37 = 2.70%.לייענט אין גאַנצן ← אַז די קומענדיקע k דרייען זענען אַלע רויטגעוועטרויטאַ גלייַך־געלט־געוועט אויף די 18 רויטע נומערן. אויף פֿראַנצויזיש: רוזש.לייענט אין גאַנצן ← איז (18/37)ᵏ. צוויי: 23.7%. פֿינף: 2.7%. צען: 0.074%, בערך 1 אין 1,350. צוואַנציק: 1 אין 1.8 מיליאָן. זעקס און צוואַנציק, דער רעקאָרד פֿון מאָנטע־קאַרלאָ: 1 אין 137 מיליאָן. דאָס זענען די וואַרשייַנלעכקייטן פֿון אַ באַשטימטער סעריע וואָס הייבט זיך אָן בייַ אַ באַשטימטן דריי, און דאָס איז די פֿראַגע וואָס כּמעט קיינער פֿרעגט טאַקע נישט.
אין אַ סעסיע
די פֿראַגע וואָס מענטשן מיינען איז „וועט זיך אַ סעריע פֿון k באַווייַזן ערגעץ אין מייַן סעסיע?“, און דער ענטפֿער איז אַ סך גרעסער ווי (18/37)ᵏ, ווייַל אַ סעסיע פֿון 200 דרייען גיט כּמעט 200 ערטער וווּ אַ סעריע קען זיך אָנהייבן. אַ סעריע פֿון זעקס אָדער מער פֿון דעם זעלבן קאָליר, רויט אָדער שוואַרץגעוועטשוואַרץאַ גלייַך־געלט־געוועט אויף די 18 שוואַרצע נומערן. אויף פֿראַנצויזיש: נואַר.לייענט אין גאַנצן ←, באַווייַזט זיך אין אַ סעסיע פֿון 200 דרייען בערך 94% פֿון די מאָל; אַכט אָדער מער בערך 47%; צען אָדער מער בערך 14%. באַשטימט דעם קאָליר פֿון פֿריִער, און די שאַנסן פֿאַלן, ביז בערך 75%, 27% און 7%. אַ שפּילער וואָס זיצט אַ גאַנצן אָוונט וועט זען לאַנגע סעריעס יעדן אָוונט.
פֿאַר וואָס עס אַרט דעם מאַרטינגייל
יעדע נעגאַטיווע פּראָגרעסיעסטראַטעגיעפּראָגרעסיעיעדער כּלל וואָס בייַט דעם אייַנזאַץ לויט די פֿריִערדיקע רעזולטאַטן. נעגאַטיווע פּראָגרעסיעס הייבן אים אויף נאָך פֿאַרלוסטן, פּאָזיטיווע נאָך געווינסן.לייענט אין גאַנצן ← האָט אַ לענג פֿון אַ סעריע וואָס צעברעכט זי: זעקס פֿאַרלוסטן פֿון אַ באַזע פֿון $10 בייַ אַ לימיט פֿון $500, צען פֿאַר פֿיבאָנאַטשיסטראַטעגיעפֿיבאָנאַטשיאַ פּראָגרעסיע וואָס גייט נאָך דער סעריע 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: איין שריט פֿאָרויס נאָך אַ פֿאַרלוסט, צוויי שריט צוריק נאָך אַ געווינס.לייענט אין גאַנצן ←, פֿינף בייַם פֿאַרדרייַפֿאַכן אויף טוצןגעוועטטוץ1–12, 13–24 אָדער 25–36, צאָלט 2:1.לייענט אין גאַנצן ←. די וואַרשייַנלעכקייט פֿון אַ פֿאַרלירנדיקער סעריע פֿון זעקס אויף גלייַך־געלט איז (19/37)⁶ ≈ 1.8% פּער פּרוּוו, און אַ סעסיע פֿון 200 דרייען האָט אפֿשר 100 פּרוּוון, הייסט דער בראָך קומט בערך אין פֿיר סעסיעס פֿון פֿינף פֿון אַזאַ לענג. די וואַרשייַנלעכקייט פֿון סעריעס אין רולעט איז די סיבה פֿאַר וואָס דער תּהום איז נישט זעלטן.
הייסע און קאַלטע נומערן
דער זעלבער חשבון גילט פֿאַר איינצל־נומערןגעוועטאיינצל־נומעראַן איינציקער נומער, צאָלט 35:1.לייענט אין גאַנצן ←. אין 300 דרייען איז די דערוואַרטע צאָל טרעפֿן פּער נומער 8.1; די סטאַנדאַרט־אָפּווייַכונגמאַטעמאַטיקסטאַנדאַרט־אָפּווייַכונגדער קוואַדראַט־וואָרצל פֿון דער וואַריאַנץ; די טיפּישע ווייַטקייט פֿון אַ רעזולטאַט פֿון דער דערוואַרטער ווערט.לייענט אין גאַנצן ← איז בערך 2.8. עפּעס אַ נומער וועט ווייַזן 15 טרעפֿן און עפּעס אַ נומער 2, נאָר פֿון צופֿאַל, יעדעס מאָל. אַ רעזולטאַטן־טאָוול וואָס באַטאָנט „הייסע“ נומערן באַטאָנט די שפּיץ פֿון אַ נאָרמאַלער פֿאַרטיילונג. די רולעט־לאַבאָראַטאָריע דערקלערט וויפֿל דרייען מע דאַרף איידער אַ הייסער נומערמיטאָסהייסער נומעראַ נומער וואָס האָט זיך לעצטנס באַוויזן אָפֿטער ווי דערוואַרט. אויף אַ יושרדיק ראָד זאָגט ער גאָרנישט פֿאָרויס.לייענט אין גאַנצן ← באַדייט עפּעס (טויזנטער, פֿון איין באַשטימט ראָד).
אומאָפּהענגיקייט איז דער גאַנצער עיקר
אַ סעריע פֿון צען מאָל רויט מאַכט נישט שוואַרץ מער וואַרשייַנלעך, און זי מאַכט אויך נישט רויט מער וואַרשייַנלעך. ביידע זענען 18/37. סעריעס זענען אַ אייגנשאַפֿט פֿון צופֿעליקע סעריעס פֿון רעזולטאַטן, און זייער פֿעלן וואָלט געווען חשודיק: אַ סעריע פֿון 200 דרייען אָן קיין לויף לענגער ווי פֿיר וואָלט געווען אַ סך שטאַרקערער באַווייַז פֿון מאַניפּולאַציע ווי איינע מיט אַ לויף פֿון צוועלף.
פֿאָרמולע
פֿראַגעס
26 מאָל שוואַרץ אין מאָנטע־קאַרלאָ דעם 18טן אויגוסט 1913 איז די באַרימטע. 32 מאָל רויט נאָך אַנאַנד איז געמאָלדן געוואָרן אין אַן אַמעריקאַנישן קאַזינאָ אין 1943. ביידע שטימען מיטן צופֿאַל, אַז מע נעמט אין אַכט וויפֿל דרייען קאַזינאָס מאַכן.
סייַ ווי סייַ איז עס 18/37. שטעלט וואָס אייַער פּלאַן זאָגט, אָדער גאָרנישט.
ניין. אַ פֿאַרקרימונג ווייַזט זיך ווי עטלעכע פֿעכעראויסריכטפֿאַךאיינער פֿון די 37 נומערירטע אָפּטיילן אויפֿן ראָטאָר. אויך: שפּאַלט, בעכערל.לייענט אין גאַנצן ← וואָס ווערן געטראָפֿן אָפֿטער איבער טויזנטער דרייען, נישט ווי סעריעס פֿון אַ קאָליר.
שפּאַס מיט מאַטעמאַטיק
פּרוּווט זיי פֿריִער אַליין. יעדע לייזונג איז צוגעדעקט; עפֿנט זי ווען איר זייט גרייט.
ווי פֿיל דרייען פֿון אַן אייראָפּעיִש ראָד דאַרף מען אין דורכשניט, ביז יעדער פֿון די 37 נומערן איז אויסגעפֿאַלן כאָטש איין מאָל?
ווייַזט די לייזונג
ענטפֿער אין דורכשניט בערך 155 דרייען; דער מעדיאַן איז 147.
ציילט די וואַרטעניש איין נייַעם נומער אויף אַ מאָל. דער ערשטער דריי ווייַזט תּמיד אַ נייַעם נומער. ווען איר האָט געזען 1 נומער, זענען 36 פֿעכעראויסריכטפֿאַךאיינער פֿון די 37 נומערירטע אָפּטיילן אויפֿן ראָטאָר. אויך: שפּאַלט, בעכערל.לייענט אין גאַנצן ← פֿון 37 נייַ, אַלזאָ נעמט דער קומעדיקער נייַער נומער אין דורכשניט 37/36 דרייען. ווען איר האָט געזען k נומערן, נעמט עס 37/(37 − k).
לייגט צונויף די וואַרטענישן: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 דרייען.
דער גרעסטער טייל דערפֿון איז דער סוף. דער לעצטער נומער אַליין נעמט אין דורכשניט 37 דרייען, און די לעצטע פֿינף בערך 85. אויף אַן אַמעריקאַניש ראָד גיט די זעלבע סומע בערך 161. דאָס איז די קופּאָן־זאַמלער־פּראָבלעם; דער זעלבער דורכשניט קומט אַרויס פֿונעם געוויינטלעכן חשבון.
אין 37 דרייען פֿון אַן אייראָפּעיִש ראָד, איין דריי פֿאַר יעדן פֿאַך, ווי פֿיל פֿאַרשידענע נומערן קען מען דערוואַרטן צו זען?
ווייַזט די לייזונג
ענטפֿער בערך 23.6. בערך אַ דריטל פֿון די נומערן, בערך 13, פֿאַלן גאָר נישט אויס.
נעמט איין נומער, למשל 17. בייַ יעדן דריי פֿאַלט ער נישט אויס מיט אַ שאַנס פֿון 36/37, אַלזאָ פֿאַרפֿעלט ער אַלע 37 דרייען מיט אַ שאַנס פֿון (36/37)³⁷ ≈ 0.363.
יעדער נומער האָט דעם זעלבן שאַנס, אַלזאָ פֿעלן אין דורכשניט 37 × 0.363 ≈ 13.4 נומערן, און 37 − 13.4 ≈ 23.6 פֿאַלן אויס, אַ סך פֿון זיי צוויי מאָל אָדער מער.
רולעט־שפּילער רופֿן דאָס דאָס געזעץ פֿון דריטלעך. עס איז קיין געזעץ נישט, נאָר דער חשבון פֿון איבערחזרונגען: אין אַ סעריע אַזוי לאַנג ווי דאָס ראָד בלייַבט בערך אַ דריטל פֿון די נומערן אין דער זייַט, אויף אַ יושרדיק ראָד פּונקט ווי אויף יעדן אַנדערן. אויף 38 פֿעכער איז דער חלק אויך (37/38)³⁸ ≈ 0.363; פֿאַר אַ גרויס ראָד באַזעצט ער זיך לעבן 1/e ≈ 0.368.
אַ פֿרייַנד ווייַזט אייַך צוויי רשימות פֿון 50 קאָלירן, רויטגעוועטרויטאַ גלייַך־געלט־געוועט אויף די 18 רויטע נומערן. אויף פֿראַנצויזיש: רוזש.לייענט אין גאַנצן ← אָדער שוואַרץגעוועטשוואַרץאַ גלייַך־געלט־געוועט אויף די 18 שוואַרצע נומערן. אויף פֿראַנצויזיש: נואַר.לייענט אין גאַנצן ←, וואָס יעדע קומט, זאָגט מען, פֿון אַ ראָד מיט אויסגעלאָזטע נולןראָדנולדער איינציקער גרינער פֿאַך וואָס קיין גלייַך־געלט־, טוץ־ אָדער שפּאַלט־געוועט דעקט נישט; דער מקור פֿונעם קאַזינאָ־פֿאָרטייל. אויך: איינציקער נול, 0.לייענט אין גאַנצן ←. איינע בייַט דעם קאָליר 25 מאָל און איר לענגסטע סעריע איז זעקס. די אַנדערע בייַט 35 מאָל און גייט קיין מאָל נישט איבער דרייַ. וועלכע איז אויסגעטראַכט?
ווייַזט די לייזונג
ענטפֿער די צווייטע. אַן אמתע רשימה בייַט בערך 24 אָדער 25 מאָל. איינע מיט 35 בייַטן טרעפֿט זיך בערך איין מאָל אין 500 רשימות, און איינע אָן אַ סעריע לענגער פֿון דרייַ בערך צוויי מאָל אין 100.
יעדער נייַער קאָליר חזרט איבער דעם פֿריִערדיקן אָדער בייַט זיך, האַלב אויף האַלב, אַלזאָ געבן 49 געלעגנהייטן צו בייַטן אין דורכשניט 24.5 בייַטן, מיט אַ שוואַנקונג פֿון בערך 3.5. פֿינף און דרייַסיק איז דרייַ אַזעלכע טריט העכער פֿונעם דורכשניט; אַ יושרדיק ראָד מאַכט אַזוי פֿיל בייַטן בערך איין מאָל אין 500 רשימות.
די סעריעס דערציילן די זעלבע מעשׂה. אַן אמתע רשימה פֿון 50 האָט אַ סעריע פֿון פֿיר אָדער מער בערך 98% פֿון די מאָל, און איר לענגסטע סעריע איז רוב מאָל פֿינף אָדער זעקס.
מענטשן וואָס מע בעט זיי אויסטראַכטן אַ צופֿעליקע רשימה בייַטן צו אָפֿט, ווייַל אַ סעריע פֿון פֿיר אָדער פֿינף זעט אויס בייַ זיי ווי אַ מוסטער. טיילאָר (2021) ווייַזט דעם זעלבן סימן אין רשימות פֿון מטבע־וואַרפֿן וואָס סטודענטן האָבן אויסגעטראַכט: אמתער צופֿאַל האָט מער סעריעס ווי מענטשן דערוואַרטן.
אַ בוך מיט קאַזינאָ־מעשׂיות דערציילט וועגן אַ שפּילער וועמענס נומער איז אויסגעפֿאַלן פֿינף מאָל נאָכאַנאַנד, און רופֿט עס אַ רעקאָרד. ווי זעלטן איז דאָס אויף אַן אייראָפּעיִש ראָד? און ווי אָפֿט זאָל עס פּאַסירן ערגעץ אין איין קאַזינאָ מיט 20 טישן, יעדער דרייט 40 מאָל אַ שעה, טאָג און נאַכט?
ווייַזט די לייזונג
ענטפֿער אַ באַשטימטער נומער פֿינף מאָל נאָכאַנאַנד: 1 אין 69 מיליאָן. סתּם אַ נומער וואָס פֿאַלט אויס נאָך פֿיר מאָל נאָכן ערשטן מאָל: 1 אין 1.87 מיליאָן. דער קאַזינאָ דרייט בערך 7 מיליאָן מאָל אַ יאָר, אַלזאָ זאָל ער זען אַ סעריע פֿון פֿינף דרייַ אָדער פֿיר מאָל אַ יאָר.
אַ באַשטימטער נומער פֿאַלט אויס מיט אַ שאַנס פֿון 1/37 בייַ יעדן דריי, אַלזאָ האָבן פֿינף נאָכאַנאַנד אַ שאַנס פֿון (1/37)⁵ = 1 אין 69,343,957. נאָר קיינער באַשטימט נישט דעם נומער פֿון פֿריִער. וואָס עס זאָל נישט אויספֿאַלן צום ערשטן, מוזן די קומעדיקע פֿיר דרייען עס איבערחזרן: (1/37)⁴ = 1 אין 1,874,161.
20 טישן × 40 דרייען × 24 שעה × 365 טעג = 7,008,000 דרייען אַ יאָר. יעדער דריי קען אָנהייבן אַ סעריע, אַלזאָ דערוואַרט דער קאַזינאָ 7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7 סעריעס פֿון פֿינף אַ יאָר.
קיין אָפֿיציעלער רעקאָרד פֿון דעם מין עקזיסטירט נישט, און מע דאַרף אים אויך נישט: אַ זעלטענע געשעעניש בייַ איין טיש איז אַ געוויינטלעכע אין אַ גאַנצן קאַזינאָ, און די מעשׂיות דערציילט מען וועגן דעם טיש וווּ עס איז געשען. די מעשׂה, בייַ גאָלדמאַן (2007), שפּילט זיך אָפּ אויף אַ ראָד מיט אַ טאָפּלטן נול, וווּ די ציפֿערן זענען 1 אין 79 מיליאָן און 1 אין 2.09 מיליאָן.
אַ ביסל הומאָר
לאַנגע סעריעס זענען ווי אַזוי צופֿאַל זעט אויס.
מקורים
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.